12/07/2014

Sistema dedutivo aristotélico


Aristóteles foi o primeiro a empreender um estudo sistemático de inferências dedutivas, sendo por isso considerado o fundador da lógica. No coração da sua teoria lógica reside a silogística assertórica, que está presente nos capítulos 1.1-2 e 1.4-7 do livro "Analíticos Anteriores". A silogística assertórica lida com proposições não-modais tais como "Todo homem é mortal" ou "Alguns homens não são gregos". Normalmente Aristóteles representa estas proposições por meio de uma certa construção artificial usando o verbo "pertence a". Por exemplo, ele usa a frase "A pertence a todo B" em vez de "Todo B é A", e "A não pertence a algum B" em vez de "Algum B não é A". Aristóteles foca-se em quatro tipos de proposições assertóricas, que são habitualmente identificadas pelas letras "a" (universal afirmativa), "e" (universal negativa), "i" (particular afirmativa) e "o" (particular negativa). Além disso, costuma-se usar a letra "X" para indicar que uma proposição é não-modalizada. (Para indicar proposições modalizadas necessárias utiliza-se a letra "N", para indicar a modalidade do que não é impossível utiliza-se a letra "M", e para o que não é necessário nem impossível utiliza-se a letra "Q"). Assim, utilizando a notação de Marko Malink (2013) e de outros especialistas, podemos escrever as quatro proposições da lógica assertórica da seguinte forma:

AaxB        =        A pertence a todo B  =  Todo B é A
AexB        =        A não pertence a nenhum B  =  Nenhum B é A
AixB         =        A pertence a algum B  = Algum B é A
AoxB        =        A não pertence a algum B  =  Algum B não é A

Nesta notação, "A" representa o termo predicado, "B" o termo sujeito, e expressões como "ax", "ex", etc, representam a cópula. Nos primeiros sete capítulo do livro "Analíticos Anteriores" desenvolve-se um sistema dedutivo dessas proposições baseado nas regras de conversão e nos silogismos perfeitos da primeira figura. Mas ainda no princípio, em 1.1-22, Aristóteles evidencia as três figuras de silogismo, as quais se podem representar usando "x", "y" e "z" como símbolos para serem substituídos por uma cópula:

Primeira Figura:         AxB, ByC ∴ AzC
Segunda Figura:         Bxa, ByC ∴ AzC
Terceira Figura:         AxB, CyB ∴ AzC

Para Aristóteles só existiam estas três figuras (vale a pena salientar que a quarta figura, bem com as regras tradicionais de validade silogísticas, ou a distribuição dos termos, etc, são invenções posteriores a Aristóteles, sobretudo medievais). Ora, ao substituirmos "x", "y" e "z" por cópulas concretas, obtemos os chamados “modos” do silogismo. E alguns desses modos são válidos de acordo com Aristóteles, enquanto outros são inválidos. Na lógica assertórica os modos válidos da primeira figura são os seguintes:

Barbara:        AaxB, BaxC ∴ AaxC
Celarent:      AexB, BaxC ∴ AexC
Darii:              AaxB, BixC ∴ AixC
Ferio:             AexB, BixC ∴ AoxC

Nos "Analíticos Anteriores", em 1.4, Aristóteles não só considera que estas quatro formas são válidas mas também perfeitas. Ou seja, ele considera a sua validade como evidente, não sendo preciso qualquer prova para mostrar a sua validade. Todavia, os modos que ele identifica como válidos na segunda e na terceira figura não são perfeitos e, por isso, precisam de prova. De forma a provar a sua validade, Aristóteles faz uso dos silogismos perfeitos da primeira figura e das seguintes regras de conversão:

Conversão-ex:        AexB ∴ BexA
Conversão-ix:         AixB ∴ BixA
Conversão-ax:        AaxB ∴ BixA

Através desse método, nos capítulos 1.5-6 dos "Analíticos Anteriores", Aristóteles prova a validade dos seguintes modos:

Segunda figura:        Cesare, Camestres, Festino, Baroco.
Terceira figura:        Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Ferison, Bocardo.

A prova desses modos válidos é feita por Aristóteles por deduções diretas ou por deduções indiretas (i.e. com recurso à redução ao absurdo). Este sistema dedutivo aristotélico baseia-se em sete regras de dedução, nomeadamente: as três regras de conversão e os quatro silogismos perfeitos da primeira figura. Neste sistema, as deduções diretas começam com as proposições que são as premissas de um dado argumento, e cada uma das proposições subsequentes é derivada a partir das proposições precedentes por meio de alguma das sete regras de dedução. A última proposição será a conclusão da dedução. Por exemplo, em 1.5 27a9-14 dos "Analíticos Anteriores" existe uma dedução direta de Aristóteles para provar a validade do modo Camestres da segunda figura. Ou seja, quer provar-se que da premissa maior "BaxA" e da premissa menor "BexC" se pode concluir validamente "AexC". Assim,

1. BaxA         (premissa maior)
2. BexC         (premissa menor)
3. CexB         (de 2, por conversão-ex)
4. CexA         (de 3 e 1, por Celarent)
5. AexC         (de 4, por conversão-ex)

Portanto, como se pode ver, a validade de Camestres foi provada, pois a partir das premissas 1 e 2, e utilizando as regras de dedução do sistema aristotélico, conseguimos chegar à conclusão da linha 5. No entanto, entre os vários silogismos válidos da lógica assertórica, existem dois em que não se consegue provar a sua validade por redução direta: o Baroco e o Bocardo. Apesar disso, Aristóteles consegue provar a validade desses silogismos por deduções indiretas, ou seja, utilizando o método de redução ao absurdo. Deste modo, nas reduções indiretas depois de se escreverem as premissas coloca-se logo de seguida a negação da conclusão, ou seja, a contraditória da conclusão. Por exemplo, "AaxB" é contraditória de "AoxB" e vice-versa; do mesmo modo, "AexB" é a contraditória de "AixB" e vice-versa. A esse passo de se colocar a contraditória da conclusão chama-se "suposição". A partir daí procede-se a várias derivações, utilizando algumas das sete regras de dedução, até se encontrar duas proposições que são contraditórias ou incompatíveis. Deste modo, se derivamos a partir da suposição inicial proposições contraditórias ou incompatíveis, então essa suposição é falsa e por isso devemos concluir a negação da suposição. Vejamos, então, por exemplo a prova para Baroco (da segunda figura) em que se tenta mostrar que as premissas "BaxA" e "BoxC" implicam a conclusão "AoxC":

1. BaxA         (premissa maior)
2. BoxC         (premissa menor)
3. AaxC         (suposição; negação da conclusão de Baroco)
4. BaxC         (de 1 e 3, por Barbara)
5. ⊥                (2 e 4, contraditórias)
6. AoxC         (de 3 e 5, por reductio)

Nesta prova, na linha 3, começou-se pela suposição para a redução ao absurdo. Por conseguinte, a linha 4 é justificada por Barbara (que é uma das regras de dedução deste sistema). Depois encontramos proposições contraditórias nas linhas 2 e 4; por isso, a suposição inicial é falsa e, assim, concluímos no final a negação dessa suposição. QED! Mostramos dessa forma que a conclusão "AoxC" se segue validamente das premissas; portanto Baroco é válido. Com este sistema de deduções diretas e indiretas consegue-se provar todos os restantes silogismos válidos da lógica assertórica. É fantástico ver como é que Aristóteles inventou todo este sistema dedutivo para a lógica assertórica silogística (sobretudo se pensarmos que este sistema tem mais de 2300 anos e ainda hoje mantém a sua relevância). Mas, além disso, no campo da lógica Aristóteles também criou o seu sistema de lógica modal silogística deixando em aberto alguns problemas que ainda hoje continuamos a tentar resolver. Uma das mais recentes respostas a esses problemas encontra-se no excelente livro "Aristotle’s Modal Syllogistic", de Marko Malink, que foi publicado no ano passado. A lógica aristotélica continua bem viva!

Um desafio para o leitor: tente resolver as restantes deduções (diretas ou indiretas) que provam os silogismos válidos da lógica aristotélica e deixe a sua resolução nos comentários a este texto.


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