23/10/2012

Noções de lógica proposicional clássica



A lógica silogística aristotélica apenas permite analisar a validade de argumentos com proposições universais e particulares que estejam dispostas em forma de silogismo. Mas isso é muito limitador uma vez que a grande maioria dos argumentos assenta em operadores proposicionais, como os seguintes: “se… então” (condicional), “se e somente se” (bicondicional), “ou” (disjunção), “e” (conjunção), “não” (negação). Ora, para testar a validade de argumentos com este tipo de operadores precisamos da lógica proposicional clássica. Este tipo de lógica remonta aos estoicos, mas desenvolveu-se muito no século XX. É designada de “clássica” para se distinguir das restantes lógicas contemporâneas, como a dos predicados e a modal. Vejamos dois argumentos que podem ser analisados quanto à sua validade com lógica proposicional mas não com lógica silogística:

[Argumento 1]
P1 – Se Deus existe, então não pode existir mal no mundo.
P2 – Ora, existe mal no mundo.
C – Logo, Deus não existe.

[Argumento 2]
P1 – Se não houver Deus, a vida deixa de ter sentido.
P2 – Mas, a vida tem sentido.
C – Logo, Deus existe.

É fácil ver o que difere estes dois argumentos: um tenta provar que Deus não existe e o outro tentar provar o contrário. Mas, o que há de comum nestes dois argumentos? Na lógica proposicional ignora-se o conteúdo específico e atende-se às operações lógicas existentes. Cada proposição elementar que constitui os argumentos é representada pelas letras P, Q, R e sucessivamente que se chamam variáveis proposicionais. Por exemplo, no argumento 1 o P representa a proposição elementar “Deus existe” e o Q representa “a não existência de mal no mundo”. Já no argumento 2 o P representa “Deus não existe” e o Q representa “a vida não tem sentido”. Esta tarefa é designada de dicionário. Agora tendo em conta o dicionário e se abstrairmos o conteúdo dos argumentos 1 e 2, constataremos que eles partilham a mesma forma lógica: se P, então Q; não Q; Logo, não P. Nesta forma argumentativa encontramos dois operadores verofuncionais ou conectivas proposicionais, que são o “se… então” e o “não”. É importante saber que na lógica proposicional clássica existem várias conectivas proposicionais com os seus respetivos símbolos lógicos:
“Não” – negação, símbolo: ¬
“E” – conjunção, símbolo: ∧
“Ou” – disjunção, símbolo: ∨
“Ou…ou” – disjunção exclusiva, símbolo: ⊻
“Se…então” – condicional, símbolo: →
“Se e só se” – bicondicional, símbolo: ↔
Além destes símbolos pode-se utilizar o martelo semântico ╞ ou o símbolo de conclusão ∴ para substituir o “logo” ou o indicador de conclusão; e as várias proposições são separadas por vírgulas (,). Atendendo a isto, pode-se escrever os argumentos 1 e 2 na linguagem da lógica proposicional clássica da seguinte forma: 
P→Q, ¬Q ╞ ¬P
Mas será esta uma forma lógica válida? Para isso temos primeiro de ver as funções de verdade expressas por cada conectiva proposicional:
Negação: inverte o valor de verdade.
Conjunção: só é verdadeira se as proposições elementares que a compõem forem ambas verdadeiras.
Disjunção: só é falsa se as proposições elementares que a compõem forem ambas falsas.
Disjunção exclusiva: só é verdadeira quando uma proposição elementar é verdadeira e a outra falsa.
Condicional: só é falsa se a antecedente for verdadeira e a consequente for falsa.
Bicondicional: só é verdadeira se os seus dois lados tiverem o mesmo valor de verdade.
Com estes princípios podem-se formar as tabelas de verdade que representam as várias conectivas proposicionais:
Tendo em conta estas tabelas de verdade já conseguimos examinar a validade dos argumentos 1 e 2. Para isso construímos um inspetor de circunstâncias, ou seja um dispositivo gráfico com uma sequência de tabelas de verdade que mostra o valor de verdade de cada premissa e da conclusão em todas as circunstâncias possíveis. Se existir pelo menos uma circunstância em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, então o argumento é inválido. Caso contrário, o argumento é válido. Então, serão válidos ou inválidos os argumentos 1 e 2?
Após a construção do inspetor de circunstâncias é preciso questionar: será que existe alguma circunstância, ou seja alguma linha, em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa? Se sim, o argumento é inválido. Se não, o argumento é válido. Nesta forma lógica, na quarta linha constata-se que todas as premissas são verdadeiras mas a conclusão também é verdadeira, por isso esta forma argumentativa é válida. Só seria inválido se existisse uma linha em que todas as premissas fossem verdadeiras e a conclusão falsa. Como não é esse o caso, então podemos dizer que os argumentos 1 e 2 são válidos. Aliás, estes argumentos têm a forma válida de modus tollens; ou seja, é a forma da negação da consequente. 
Mas, vejamos uma outra forma lógica que, em vez de negar a consequente, afirma a consequente. Podemos escrever esta forma lógica do seguinte modo: P→Q, Q ╞ P. Será válido um argumento estruturado deste modo? Para ver isso temos novamente que recorrer a um inspetor de circunstâncias:
Ao examinar este inspetor de circunstâncias vemos que existe uma situação em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa (na terceira linha). Portanto, esta forma argumentativa é inválida. Aliás, este tipo de forma argumentativa comete a falácia da afirmação da consequente e qualquer argumento que se faça com esta estrutura será um mau argumento, pois a conclusão não se segue das premissas. 
Consideremos outro argumento, que pode surgir na linguagem natural, para se determinar a sua validade:
Penso que o ensino da filosofia deve promover uma discussão crítica. Isto porque o ensino da filosofia ou promove uma discussão crítica, ou tem horror às discussões. Será um ensino que formará cidadãos críticos, criativos e autónomos caso se pretenda promover uma discussão crítica. Será um ensino que formará cidadãos acríticos, dogmáticos e amorfos se tiver horror às discussões. Porém, é errado formar cidadãos com estas últimas características.
Primeiro, é necessário representar canonicamente o argumento, deixando claro quais são as premissas e qual é a conclusão: 
P1 – O ensino da filosofia ou promove uma discussão crítica, ou tem horror às discussões.
P2 – Se pretende promover uma discussão crítica, então será um ensino que formará cidadãos críticos, criativos e autónomos.
P3 – Se tem horror às discussões, então será um ensino que formará cidadãos acríticos, dogmáticos e amorfos.
P4 – Mas, é errado formar cidadãos acríticos, dogmáticos e amorfos.
C – Logo, o ensino da filosofia deve promover uma discussão crítica.
Segundo, é preciso fazer a interpretação ou construir o dicionário que capte de modo adequado as proposições elementares presentes no argumento:
P = O ensino da filosofia promover uma discussão crítica.
Q = O ensino da filosofia ter horror às discussões.
R = Formar cidadãos críticos, criativos e autónomos.
S = Formar cidadãos acríticos, dogmáticos e amorfos.
Terceiro, com este dicionário já é possível formalizar o argumento na linguagem da lógica proposicional clássica:
P ⊻ Q
P→R
Q→S
 ¬S
 ∴ P
Quarto, o passo seguinte é construir um inspetor de circunstâncias. Atenção ao seguinte pormenor: as linhas dos inspetores de circunstâncias variam consoante o número de variáveis proposicionais, de acordo com a fórmula 2n (em que “n” representa o número de variáveis). Assim, se “n”=2, ficamos com 4 linhas (2x2); se “n”=3, então ficamos com 8 linhas (2x2x2); se “n”=4, ficamos com 16 linhas (2x2x2x2); se “n”=5, ficamos com 32 linhas (2x2x2x2x2); e assim sucessivamente… Com esta informação já se pode construir adequadamente o inspetor de circunstâncias:
Quinto, por último resta fazer a análise do inspetor de circunstância para determinar se o argumento é válido ou inválido. O argumento que se está a examinar é válido, pois não existe qualquer circunstância (linha) em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.


Um exercício para o leitor:
Formalize e examine a validade do seguinte argumento:
Temos o dever de promover o bem  supremo. Se o bem supremo não fosse possível, não teríamos o dever de o promover. Se Deus não existisse, o bem supremo não seria possível. Logo, Deus existe.
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