25/10/2012

Noções de lógica: derivações


Tanto os inspetores de circunstâncias como as árvores de refutação são métodos mecânicos para se determinar a validade argumentativa. Porém, com isso não se examina a justificação passo-a-passo para uma determinada conclusão. Ou seja, com estes métodos o raciocínio não se exibe. Haverá então outro método que explicite todos os passos argumentativos para se chegar a uma dada conclusão? Sim, esse método chama-se dedução natural ou derivações. Este é um procedimento que parte das premissas de um argumento procurando justificar cada passo de raciocínio até à conclusão. A justificação de cada passo é feita a partir de um conjunto de regras que são simples formas argumentativas válidas e que autorizam a realização de inferências. Só se pode usar uma regra de inferência por cada passo. Assim, fica justificado de forma rigorosa que a conclusão de um argumento se segue apropriadamente de determinadas premissas. Vejamos, então, algumas básicas regras de inferência:


Nalgumas destas regras está presente o símbolo trigrama ≡ que significa que podemos inferir a fórmula da direita para a esquerda e da esquerda para a direita; são logicamente equivalentes. Um conjunto mais alargado de regras encontra-se aqui e aqui

Para construir derivações vamos usar três colunas: a primeira faz a numeração dos passos argumentativos. A segunda coluna começa por ter as premissas do argumento e seguidamente é apresentado o que se infere das premissas e dos passos intermediários do raciocínio até à conclusão final; este processo é feito a partir da aplicação das regras de inferência, ao fazer-se o reconhecimento de simples padrões argumentativos. Na terceira coluna estão patentes as justificações das inferências da segunda coluna. Para se fazerem derivações é preciso ser criativo e pensar, por tentativa-erro, num caminho válido que nos leve de forma gradual até à conclusão final. 

Para começar a exemplificar o uso das derivações vamos utilizar a forma argumentativa utilizada nas explicações anteriores dos inspetores de circunstâncias e das árvores de refutação. A forma argumentativa é a seguinte: P ∨ Q, P→R, Q→S, ¬S ├ P. Nesta forma argumentativa em vez do martelo semântico ╞ utiliza-se martelo sintático ├, uma vez que este significa que a conclusão pode ser derivada (a partir das regras de inferência) das premissas. A derivação é a seguinte:
1. P ∨ Q Premissa
2. P→R Premissa
3. Q→S Premissa
4. ¬S Premissa
5. ¬Q 3, 4, Modus tollens
6. P 1, 5, Silogismo hipotético
As primeiras 4 linhas são as premissas. A linha número 5 é o resultado da aplicação da regra de modus tollens às linhas 3 e 4. E da linha 1 e 5 chegamos à conclusão final que se pretendia demonstrar, a linha 6, com base na aplicação da regra do silogismo hipotético.

As derivações também podem ser realizadas utilizando a estratégia de redução ao absurdo. Para isso basta negar a conclusão da forma argumentativa e justá-la às premissas de modo a encontrar-se uma contradição. A conclusão negada designa-se de “premissa da redução”. Quando ao longo da derivação se chega à contradição, nega-se a premissa da redução e deriva-se assim a conclusão final. Vejamos a derivação da forma argumentativa anterior com recurso à redução ao absurdo:
1. P ∨ Q Premissa
2. P→R Premissa
3. Q→S Premissa
4. ¬S Premissa
5. ¬P Premissa da redução
6. Q 1, 5, Silogismo disjuntivo
7. S 3, 6, Modus ponens
8. ¬S∧S 4, 7, Introdução da conjunção
9. P 5, 8, Redução ao absurdo 
Da linha 1 a 4 encontra-se as premissas. Na linha 5 está a premissa da redução com a negação da conclusão da forma argumentativa. A partir disto tenta-se procurar uma contradição. Para isso deriva-se alguns passos intermédios nas linhas 6 e 7 até se chegar à contradição presente na linha 8. Ao encontrar-se a contradição constata-se que chegamos a um absurdo, ou seja, se a conclusão do argumento fosse negada dava origem a uma inconsistência. Portanto, para não existir inconsistência argumentativa, temos de negar a premissa da redução derivando-se deste modo a conclusão final, o que corresponde à linha 9.

Outro exemplo:
“Deus sabe antes de nascermos tudo o que faremos. Se Deus sabe antes de nascermos tudo o que faremos, então nunca está em nosso poder agir de outra maneira. Se nunca está em nosso poder agir de outra maneira, então não há liberdade humana. Logo, não há liberdade humana” (cf. Introdução à filosofia da religião, p. 247).
Interpretação deste argumento é a seguinte:
P: Deus sabe antes de nascermos tudo o que faremos.
Q: Estar em nosso poder agir de outra maneira.
R: Haver liberdade humana.
A partir desta interpretação conseguimos chegar à seguinte forma argumentativa:
P, P→¬Q, ¬Q→¬R ├ ¬R
Se recorrermos a um inspetor de circunstância ou a uma árvore de refutação contataremos que esta forma argumentativa é válida, mas podemos explicitar os passos do raciocínio desta forma argumentativa com a seguinte derivação:
1. P Premissa
2. P→¬Q Premissa
3. ¬Q→¬R Premissa
4. P→¬R 2, 3, Silogismo hipotético
5. ¬R 1, 4, Modus ponens
A derivação desta forma lógica pode ser realizada igualmente com recurso à redução ao absurdo:
1. P Premissa
2. P→¬Q Premissa
3. ¬Q→¬R Premissa
4. R Premissa da redução
5. R→Q 3, Contraposição
6. Q 4, 5, Modus ponens
7. ¬Q 1, 2, Modus ponens
8. Q∧¬Q 6, 7, Introdução da conjunção
9. ¬R 4, 8, Redução ao absurdo

Um exercício para o leitor:
Formalize e demonstre a validade do seguinte argumento:
Temos o dever de promover o bem  supremo. Se o bem supremo não fosse possível, não teríamos o dever de o promover. Se Deus não existisse, o bem supremo não seria possível. Logo, Deus existe.
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