24/10/2012

Noções de lógica: árvores de refutação


Como vimos anteriormente, utilizar inspetores de circunstâncias é muito útil para testar a validade de argumentos. Mas já imaginou tentar examinar a validade de um argumento com 8 variáveis proposicionais (que corresponderia a um inspetor de circunstâncias com 256 linhas)? Seria certamente uma tarefa pouco prática, demasiado fastidiosa e morosa… Por isso, será que existem outros métodos na lógica proposicional clássica para se testar a validade dos argumentos? Um método diferente, bastante simples e rápido, para examinar a validade dos argumentos é o método das árvores de refutação, também designado por árvores lógicas ou por demonstrações em árvore (tree proofs). A principal característica deste método é proceder por redução ao absurdo (em que se nega uma proposição que se quer provar mostrando, por conseguinte, que isso dá origem a uma inconsistência ou absurdo). Assim, o primeiro passo, quando temos uma determinada forma lógica, é negar a conclusão e juntá-la às premissas. Seguidamente procura-se analisar se o conjunto de proposições (as premissas e a negação da conclusão) é inconsistente ou não. Se for inconsistente, então a forma lógica do argumento é válida. Se não for inconsistente, então a forma lógica do argumento é inválida. Para se examinar se existe inconsistência ou não é preciso fazer a simplificação das fórmulas complexas (por exemplo, P∨Q é uma forma complexa que precisa ser simplificada). Só existe uma maneira correta de simplificar as fórmulas complexas: seguir as regras das árvores de refutação. Este método termina quando se encontra uma inconsistência (ie, contradição como P e ¬P) ou quando não existe mais fórmulas para simplificar. As regras de simplificação das fórmulas são as seguintes:


Tendo em conta estas regras e o que já se elucidou sobre as árvores de refutação, tentemos ver se a seguinte forma argumentativa é válida ou não: P→Q, ¬Q ╞ ¬P. Para isso começa-se por escrever a primeira premissa; na linha abaixo escreve-se a segunda premissa e na linha seguinte escreve-se a negação da conclusão. Por uma questão de orientação cada linha (ou passo de raciocínio) que se escreve deve ser numerada com o ponto (1., 2., 3., etc…). O passo seguinte é simplificar a fórmula P→Q, devendo escrever-se entre parênteses, ao lado do resultado da simplificação, o número de onde esta resulta. Com isto já simplificamos a fórmula complexa existente. Agora resta questionar se existe inconsistência ou não. Isto é, temos que procurar contradições. Quando encontramos uma contradição num determinado ramo da árvore, o ramo fica fechado e por isso assinalámos com um “X” por debaixo do ramo onde existe tal contradição e escreve-se entre parênteses as linhas onde ocorre essa contradição. A forma argumentativa só é válida se todos os ramos da árvore fecharem. Se existir pelo menos um ramo que não feche, então o argumento será inválido. Vejamos então se a forma argumentativa em análise é válida ou não:


Como se pode constatar, as linhas 1 e 2 são as premissas; a linha 3 é a negação da conclusão e na linha 4 está presente a simplificação da condicional da linha 1. Agora é importante questionar: será que todos os ramos da árvore fecham? Ou seja, será que existe inconsistência em todos os ramos da árvore? Sim, de facto estão patentes contradições: nas linhas 3 e 4 vemos uma contradição de P com ¬P; por isso esse ramo pode fechar com um “X”. E nas linhas 2 e 4 existe uma contradição de ¬Q com Q; por isso este ramo também pode fechar com um “X”. Ora, se todos os ramos da árvore fecham, então esta forma argumentativa é válida.
Outro exemplo: será que a forma argumentativa P→Q, Q ╞ P é válida? Ao seguir-se o mesmo método chega-se ao seguinte resultado:


Neste caso a forma argumentativa é inválida, pois nenhum ramo da árvore fechou. Mas, basta existir pelo menos um ramo da árvore aberto para o argumento ser inválido, como no seguinte exemplo:


Examinemos agora a validade de uma forma argumentativa mais complexa. Tentemos determinar com o método das árvores de refutação se a seguinte forma argumentativa é válida ou não: P ∨ Q, P→R, Q→S, ¬S ╞  P


Esta forma argumentativa é válida, pois todos os ramos da árvore fecham.

Que método o leitor prefere para analisar a validade dos argumentos: os inspetores de circunstâncias ou as árvores de refutação? Porquê?
Um exercício para o leitor:
Formalize e teste a validade do seguinte argumento com o método das árvores de refutação:
Temos o dever de promover o bem  supremo. Se o bem supremo não fosse possível, não teríamos o dever de o promover. Se Deus não existisse, o bem supremo não seria possível. Logo, Deus existe.
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